Question

（2012•廣州一模）兩千多年前，古希臘畢達哥拉斯學派的數學家曾經在沙灘上研究數學問題，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數，按照點或小石子能排列的形狀對數進行分類，如圖中的實心點個數1，5，12，22，…，被稱為五角形數，其中第1個五角形數記作a₁=1，第2個五角形數記作a₂=5，第3個五角形數記作a₃=12，第4個五角形數記作a₄=22，…，若按此規律繼續下去，則a₅=

35

，若a_n=145，則n=

10

．

Answer 1

分析：仔細觀察法各個圖形中實心點的個數，找到個數之間的通項公式，再求第5個五角星的中實心點的個數及a_n=145時，n的值即可．

解答：解：第一個有1個實心點，
第二個有1+1×3+1=5個實心點，
第三個有1+1×3+1+2×3+1=12個實心點，
第四個有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1=22個實心點，
…
第n個有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1+…+3（n-1）+1=

3n(n-1)

2

+n個實心點，
故當n=5時，

3n(n-1)

2

+n=

3×5×4

2

+5=35個實心點．
若a_n=145，即

3n(n-1)

2

+n=145，解得n=10
故答案為：35，10．

點評：本題考查了圖形的變化類問題，解題的關鍵是仔細觀察每個圖形并從中找到通項公式．