Question

設函數y=f（x）的圖象與y=2^x的圖象關于直線x-y=0對稱，則函數y=f（6x-x²）的遞增區間為

（0，3）

．

Answer 1

分析：由已知得y=f（x）的圖象與y=2^x的圖象關于直線y=x對稱，根據互為反函數的圖象的對稱性可知它們互為反函數，即可求出函數y=f（x）的解析式，再根據符合函數的單調性求出函數y=f（6x-x²）的遞增區間．

解答：解：因為函數y=f（x）的圖象與y=2^x的圖象關于直線x-y=0對稱，
所以函數y=f（x）與y=2^x互為反函數，
∵y=2^x的反函數為y=log₂x，
∴f（x）=log₂x，f（6x-x²）=log₂（6x-x²）．
令u=6x-x²，則u＞0，即6x-x²＞0．
∴x∈（0，6）．
又∵u=-x²+6x的對稱軸為x=3，且對數的底為2＞1，
∴y=f（6x-x²）的遞增區間為（0，3）．
故答案為：（0，3）．

點評：本題考查反函數的求法與對數函數的性質，以及符合函數的單調性，屬于基礎題目．