Question

某黑箱中有大小、形狀均相同的5只白球和3只黑球，活動參與者每次從中隨機摸出一個球（取出后不放回），直到3只黑球全部被取出時停止摸球，求停止摸球后，箱中剩余的白球個數X的分布列及數學期望．

Answer 1

由題意知每次取一個球，
∴至少需3次，即X最大為5．有3只黑球，
當前3次取得的都是黑球時，X=5，
∴X可以取0，1，2，3，4，5．
當變量X是5時，表示第一次取出黑球，第二次取出也是黑球，第三次取出也是黑球，
根據相互獨立事件同時發生的概率公式得到
P（X=5）=

3

8

×

2

7

×

1

6

=

1

56

；
P（X=4）=C

13

×

5

8

×

3

7

×

2

6

×

1

5

=

3

56

；
P（X=3）=C

24

×

5

8

×

4

7

×

3

6

×

2

5

×

1

4

=

6

56

；
P（X=2）=C

35

×

5

8

×

4

7

×

3

6

×

3

5

×

2

4

×

1

3

=

10

56

；
P（X=1）=C

46

×

5

8

×

4

7

×

3

6

×

2

5

×

3

4

×

2

3

×

1

2

=

15

56

；
P（X=0）=1-[P（X=5）+P（X=4）+P（X=3）+P（X=2）+P（X=1）]=

21

56

．
∴X的分布列如下：

X	0	1	2	3	4	5
P	21 56	15 56	10 56	6 56	3 56	1 56

EX=0×

21

56

+1×

15

56

+2×

10

56

+3×

6

56

+4×

3

56

+5×

1

56

=

25

28

．