Question

.如果對(duì)任意一個(gè)三角形，只要它的三邊長(zhǎng)a，b，c都在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)，就有f(a)，f(b)，f(c)也是某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱f(x)為“保三角形函數(shù)”.
（1）判斷下列函數(shù)是不是“保三角形函數(shù)”，并證明你的結(jié)論：
① f(x)＝ ；    ② g(x)＝sinx (x∈(0，π)).
（2）若函數(shù)h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞))是保三角形函數(shù)，求M的最小值.

Answer 1

（1）f(x)＝ 是保三角形函數(shù)，g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函數(shù).
（2）M的最小值為2.

① f(x)＝ 是保三角形函數(shù).
對(duì)任意一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c，則a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b，
f(a)＝ ，f(b)＝ ，f(c)＝ .
因?yàn)?＋)²＝a＋2＋b＞c＋2＞()²，所以＋＞.
同理可以證明：＋＞，＋＞.
所以f(a)、f(b)、f(c)也是某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，故 f(x)＝ 是保三角形函數(shù).
②g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函數(shù). 取，顯然這三個(gè)數(shù)能作為一個(gè)
三角形的三條邊的長(zhǎng). 而sin＝1，sin＝，不能作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng).
所以g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函數(shù).
(i)首先證明當(dāng)M≥2時(shí)，函數(shù)h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞))是保三角形函數(shù).
對(duì)任意一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)a，b，c∈［M，＋∞)，且a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b，
則h(a)＝lna，h(b)＝lnb，h(c)＝lnc.
因?yàn)?i>a≥2，b≥2，a＋b＞c，所以(a－1)(b－1)≥1，所以ab≥a＋b＞c，所以lnab＞lnc，
即lna＋lnb＞lnc.
同理可證明lnb＋lnc＞lna，lnc＋lna＞lnb.
所以lna，lnb，lnc是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng).
故函數(shù)h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞)，M≥2)，是保三角形函數(shù).
(ii)其次證明當(dāng)0<M＜2時(shí)，h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞))不是保三角形函數(shù).
當(dāng)0<M＜2時(shí)，取三個(gè)數(shù)M，M，M²∈［M，＋∞)，
因?yàn)?＜M＜2，所以M＋M＝2M＞M²，所以M，M，M²是某個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，
而lnM＋lnM＝2lnM＝lnM²，所以lnM，lnM，lnM²不能為某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，
所以h(x)＝lnx不是保三角形函數(shù).
所以，當(dāng)M＜2時(shí)，h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞))不是保三角形函數(shù).
綜上所述：M的最小值為2.