Question

（本小題滿分14分）設b>0，橢圓方程為，拋物線方程為。如圖所示，過點F（0，b + 2）作x軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為G。已知拋物線在點G的切線經過橢圓的右焦點F₁。

（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；

（2）點G、所在的直線截橢圓的右下區域為D，

若圓C：與區域D有公共點，求m的最小值。

Answer 1

【解析】解：（1）由x²=8(y-b)得 y=x²+b當y=b+2時，x=±4，∴G點的坐標為(4,b+2)

，過點G的切線方程為y-(b+2)=x-4，即y=x+b-2

令y=0得x=2-b，∴F₁點的坐標為(2-b,0)；

由橢圓方程得F₁點的坐標為(b,0)，

∴2-b=b  即b=1

因此所求的橢圓方程及拋物線方程分別為和x²=8(y-1)

    （2）直線G的直線方程為：，

         圓，圓心C(m,0)，半徑

         若圓C與直線G相切，則，

         由圓心向直線G引垂線，易得:

       聯立，點M，

      所以m的最小值為。