Question

12、對于函數 ①f（x）=lg（|x-2|+1），②f（x）=（x-2）²，③f（x）=cos（x+2）．給出如下三個命題：
命題甲：f（x+2）是偶函數；
命題乙：f（x）在區間（-∞，2）上是減函數，在區間（2，+∞）上是增函數；
命題丙：f（x+2）-f（x）在（-∞，+∞）上是增函數．
能使命題甲、乙、丙均為真的所有函數的序號是

②

．

Answer 1

分析：要判斷題目中給出的三個函數中，使命題甲、乙、丙均為真的所有函數的序號，我們可將題目中的函數一一代入命題甲、乙、丙進行判斷，只要有一個命題為假，即可排除，最好不難得到最終的答案．

解答：解：①若f（x）=lg（|x-2|+1）則：
f（x+2）是偶函數，此時命題甲為真；
f（x）在（-∞，2）上是減函數，在（2，+∞）上是增函數；此時命題乙為真；
但f（x+2）-f（x）在（-∞，+∞）上不是單調遞增的；此時命題丙為假．
②f（x）=（x-2）²則：
f（x+2）是偶函數，此時命題甲為真；
f（x）在（-∞，2）上是減函數，在（2，+∞）上是增函數；此時命題乙為真；
但f（x+2）-f（x）=4x-4在（-∞，+∞）上是增函數的；此時命題丙為真．
③若f（x）=cos（x+2），則：
f（x+2）是不偶函數，此時命題甲為假；
f（x）在（-∞，2）上不是減函數，在（2，+∞）上不是增函數；此時命題乙為假；
但f（x+2）-f（x）在（-∞，+∞）上不是單調遞增的；此時命題丙為假．
故答案為：②．

點評：本題綜合的考查了多個函數的性質，在處理的時候，我們根據各種函數的性質，對題目中的結論逐一進行判斷易得結論，熟練掌握各種基本函數的性質，包括單調性、奇偶性、周期性、對稱性等，是解決本題的關鍵．