Question

（08年湖南卷文）如圖所示，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的菱形，，E是CD的中點(diǎn)，PA底面ABCD，。

（1）證明：平面PBE平面PAB；

（2）求二面角A―BE―P和的大小。

Answer 1

解：解法一（I）如圖所示, 連結(jié)由是菱形且知，

是等邊三角形. 因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以

又所以

              又因?yàn)镻A平面ABCD，平面ABCD，

所以而因此 平面PAB.

又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.

（II）由（I）知，平面PAB, 平面PAB, 所以

又所以是二面角的平面角．

在中, ．

故二面角的大小為

解法二：如圖所示,以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系．則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是

 

（I）因?yàn)?IMG height=45 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090320/20090320090319029.gif' width=105>平面PAB的一個(gè)法向量是所以和共線.

從而平面PAB. 又因?yàn)?IMG height=17 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090320/20090320090318009.gif' width=41>平面PBE，所以平面PBE平面PAB.

（II）易知設(shè)是平面PBE的一個(gè)法向量,

則由得 所以

故可取而平面ABE的一個(gè)法向量是

于是,．

故二面角的大小為