Question

在平面直角坐標(biāo)系中，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)叫做格點(diǎn)，若某函數(shù)f（x）的圖象恰好經(jīng)過(guò)n個(gè)格點(diǎn)，則稱該函數(shù)f（x）為n階格點(diǎn)函數(shù)．給出下列函數(shù)：
①y=x²； ②y=lnx；③y=3^x-1；④y=x+

1

x

； ⑤y=cosx．
則其中所有為一階格點(diǎn)函數(shù)的是

②，⑤

（填序號(hào)）．

Answer 1

分析：可通過(guò)排除法排除．例如①y=x²，可令x=0，1，得到y(tǒng)=0，1，從而排除①；③y=3^x-1，可令x=0，1得到y(tǒng)=0，2，于是排除③；對(duì)于④y=x+

1

x

，可令x=±1，得到y(tǒng)=±2，從而可排除④；對(duì)于②y=lnx，只有x=1時(shí)，才能使縱坐標(biāo)為整數(shù)；對(duì)于⑤只有x取整數(shù)0時(shí)，縱坐標(biāo)y才能取到整數(shù)．于是可得答案．

解答：解：∵對(duì)于y=x²，不妨令x=0，1，2，3，…，y=0，1，4，9，…故函數(shù)y=x²有無(wú)數(shù)個(gè)格點(diǎn)，排除①；
同理可排除③，對(duì)于④，令x=1，可得y=2，令x=-1，可得y=-2，故可排除④；
對(duì)于y=lnx，當(dāng)且僅當(dāng)橫坐標(biāo)x=1時(shí)，縱坐標(biāo)y才是整數(shù)0，故②為一階格點(diǎn)函數(shù)；
對(duì)于y=cosx，只有x取整數(shù)0時(shí)，縱坐標(biāo)y才能取到整數(shù)，是1，故⑤為一階格點(diǎn)函數(shù)；
故答案為：②⑤

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，著重考查排除法，圖象法及函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，屬于中檔題．