Question

已知函數

（1）若在上單調遞增，求的取值范圍；

（2）若定義在區間D上的函數對于區間上的任意兩個值總有以下不等式成立，則稱函數為區間上的 “凹函數”．試證當時，為“凹函數”．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）理解凹函數的定義 ，然后結合中點函數值與任意兩點的函數值和的關系式作差法加以證明。

【解析】

試題分析：解(1)由,得

函數為上單調函數. 若函數為上單調增函數,則在上恒成立,即不等式在上恒成立. 也即在上恒成立.

令,上述問題等價于,而為在上的減函數,則,于是為所求.

(2)證明:由得

 

而 ①

又, ∴ ②

∵  ∴,

∵ ∴ ③ 

由①、②、③得

即,從而由凹函數的定義可知函數為凹函數

考點：新定義和函數性質的運用

點評：結合均值不等式的思想，以及函數的解析式來求解，屬于中檔題。