Question

已知

a

=

cosωx，sinωx

，

b

=

cosωx+ 3 sinωx， 3 cosωx-sinωx

（ω＞0），函數f(x)=

a

•

b

的最小正周期為π
（1）求函數f（x）的單調遞減區間及對稱中心；
（2）求函數f（x）在區間

π 4 ， π 2

上的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）運用向量的數量積的坐標表示，寫出函數f（x）的表達式，然后化積為y=2sin（2ωx+

π

6

），根據周期為π求出ω的值，解析式可求，因為得到的函數是復合函數，且內層為增函數，所以直接讓正弦函數符號后面的代數式屬于正弦函數的減區間求解x的范圍，對稱中心就是函數f（x）的圖象與x軸的交點；
（2）根據x∈[

π

4

，

π

2

]，求出相位的范圍，則最值可求．

解答：解：（1）f（x）=cocωx（cosωx+

3

sinωx）+sinωx（

3

cosωx-sinωx）
=cos²ωx-sin²ωx+2

3

sinωxcosωx
=cos2ωx+

3

sin2ωx
=2sin（2ωx+

π

6

）
所以，ω=1．
所以f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，∈Z
得

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，k∈Z
所以，f（x）的單調減區間為[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]，(k∈Z)
由2x+

π

6

=kπ，得x=-

π

12

+

kπ

2

，k∈Z
所以，對稱中心為(-

π

12

+

kπ

2

，0)，k∈Z
（2）因為

π

4

≤x≤

π

2

，

2π

3

≤2x+

π

6

≤

7π

6

所以-1≤2sin（2x+

π

6

）≤

3

．
所以函數f（x）在區間

π 4 ， π 2

上的最大值為

3

，最小值為-1．

點評：本題考查了平面向量的數量積運算及兩角差的正弦函數，解答的關鍵是寫出數量積的坐標表示，然后正確化積，最后化為y=Asing（ωx+Φ）的形式解題，屬常規題型．