【題目】已知a，b，c均為正數，設函數f（x）＝|x﹣b|﹣|x+c|+a，x∈R．
（1）若a＝2b＝2c＝2，求不等式f（x）＜3的解集；
（2）若函數f（x）的最大值為1，證明：
．
【答案】（1）
．（2）見解析
【解析】
（1）根據a＝2b＝2c＝2時，將不等式f（x）＜3化為|x﹣1|﹣|x+1|＜1，然后利用零點分段法解不等式即可；
（2）根據條件利用絕對值三角不等式，可得a+b+c＝1，然后利用柯西不等式，即可證明
．
（1）當a＝2b＝2c＝2時，a＝2，b＝c＝1
不等式f（x）＜3化為|x﹣1|﹣|x+1|＜1，
當x≤﹣1時，原不等式化為1﹣x+1+x＜1，解集為；
當﹣1＜x＜1時，原不等式化為1﹣x﹣x﹣1＜1，解得
；
當x≥1時，原不等式化為x﹣1﹣x﹣1＜1，解得x≥1，
∴不等式f（x）＜3的解集為．
（2）∵
又∵a，b，c＞0，
∴
∴
當且僅當
，即
時等號成立，
∴．
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【題目】已知橢圓C：
(
)的左右焦點分別為
，點
滿足：
，且
.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過點
的直線l與C交于
，
不同的兩點，且
，問在x軸上是否存在定點N，使得直線
，
與y軸圍成的三角形始終為底邊在y軸上的等腰三角形.若存在，求定點N的坐標；若不存在，請說明理由.
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【題目】袋子有5個不同的小球，編號分別為1，2，3，4，5，從袋中一次取出三個球，記隨機變量
是取出球的最大編號與最小編號的差，數學期望為
，方差為
則下列選項正確的是（ ）
A.
，
B.，
C.
，
D.
，
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【題目】隨著生活節奏的加快以及智能手機的普及，外賣點餐逐漸成為越來越多用戶的餐飲消費習慣，由此催生了一批外賣點餐平臺．已知某外賣平臺的送餐費用與送餐距離有關（該平臺只給5千米范圍內配送），為調査送餐員的送餐收入，現從該平臺隨機抽取100名點外賣的用戶進行統計，按送餐距離分類統計結果如表：
送餐距離（千米） | （0，1] | （1，2] | （2，3] | （3，4] | （4，5] |
頻數 | 15 | 25 | 25 | 20 | 15 |
以這100名用戶送餐距離位于各區間的頻率代替送餐距離位于該區間的概率．
（1）若某送餐員一天送餐的總距離為100千米，試估計該送餐員一天的送餐份數；（四舍五入精確到整數，且同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）．
（2）若該外賣平臺給送餐員的送餐費用與送餐距離有關，規定2千米內為短距離，每份3元，2千米到4千米為中距離，每份7元，超過4千米為遠距離，每份12元．記X為送餐員送一份外賣的收入（單位：元），求X的分布列和數學期望．
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【題目】如圖①：在平行四邊形
中,
,
,將
沿對角線
折起,使
,連結
,得到如圖②所示三棱錐
.
（1）證明：
平面
；
（2）若
,二面角
的平面角的正切值為
,求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】某城市對一項惠民市政工程滿意程度（分值：
分）進行網上調查，有2000位市民參加了投票，經統計，得到如下頻率分布直方圖（部分圖）：
現用分層抽樣的方法從所有參與網上投票的市民中隨機抽取
位市民召開座談會，其中滿意程度在
的有5人．
（1）求的值，并填寫下表（2000位參與投票分數和人數分布統計）；
滿意程度（分數） |
|
|
|
|
|
人數 |
（2）求市民投票滿意程度的平均分（各分數段取中點值）；
（3）若滿意程度在的5人中恰有2位為女性，座談會將從這5位市民中任選兩位發言，求男性甲或女性乙被選中的概率．
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【題目】高鐵是我國國家名片之一，高鐵的修建凝聚著中國人的智慧與汗水.如圖所示，B、E、F為山腳兩側共線的三點，在山頂A處測得這三點的俯角分別為
、
、
，計劃沿直線BF開通穿山隧道，現已測得BC、DE、EF三段線段的長度分別為3、1、2.
（1）求出線段AE的長度；
（2）求出隧道CD的長度.
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