Question

一條船在如圖所示的Y型河流中行駛，從A逆流行駛到B，再從B順流行駛到C，AB間航程和BC間航程相等，水流的速度為3km/h，已知該船每小時的耗油量與船在靜水中的速度（單位：km/h）的平方成正比．
（1）當船在AB段、BC段靜水中的速度分別是多少時，整個航行的總耗油量最小？
（2）如果在整個航行過程中，船在靜水中的速度保持不變，當船在靜水中的速度是多少時，整個航行的總耗油量最小？

Answer 1

【答案】分析：設AB=BC=lkm，船在AB段，BC段靜水中的速度分別為v₁km/h，v₂km/h，所用時間分別為t₁h，t₂h，比例系數為k，耗油量分別為S₁，S₂，總耗油量為S，其中k，l為常數，v₁＞3，v₂≥0
（1），，表示出相應的耗油量，進而可求耗油量最小時，相應的速度；
（2）如果在整個航行過程中，船在靜水中的速度保持不變，設v₁=v₂=v＞3，，求出導函數，從而求出S（v）的最小值．
解答：解：設AB=BC=lkm，船在AB段，BC段靜水中的速度分別為v₁km/h，v₂km/h，所用時間分別為t₁h，t₂h，比例系數為k，耗油量分別為S₁，S₂，總耗油量為S，其中k，l為常數，v₁＞3，v₂≥0
（1），，
∴，
∴v₂=0，（S₂）_min=0

當且僅當，v₁=6時，（S₁）_min=12kl，此時S最小
（2）如果在整個航行過程中，船在靜水中的速度保持不變，設v₁=v₂=v＞3


∴
∴時，S（v）取得最小值．
點評：本題以實際問題為載體，考查函數模型的構建，考查函數最值的求解，考查導數知識的運用，有一定的綜合性．