Question

（2011•江蘇二模）一條船在如圖所示的Y型河流中行駛，從A逆流行駛到B，再從B順流行駛到C，AB間航程和BC間航程相等，水流的速度為3km/h，已知該船每小時的耗油量與船在靜水中的速度（單位：km/h）的平方成正比．
（1）當船在AB段、BC段靜水中的速度分別是多少時，整個航行的總耗油量最小？
（2）如果在整個航行過程中，船在靜水中的速度保持不變，當船在靜水中的速度是多少時，整個航行的總耗油量最小？

Answer 1

分析：設AB=BC=lkm，船在AB段，BC段靜水中的速度分別為v₁km/h，v₂km/h，所用時間分別為t₁h，t₂h，比例系數(shù)為k，耗油量分別為S₁，S₂，總耗油量為S，其中k，l為常數(shù)，v₁＞3，v₂≥0
（1）t1=

l

v1-3

，t2=

l

v2+3

，表示出相應的耗油量，進而可求耗油量最小時，相應的速度；
（2）如果在整個航行過程中，船在靜水中的速度保持不變，設v₁=v₂=v＞3，S(v)=S1+S2=kv2(t1+t2)=2kl

v2

v2-9

，求出導函數(shù)S′(v)=2kl

v2(v+3 3 )(v-3 3 )

(v2-9)2

，從而求出S（v）的最小值．

解答：解：設AB=BC=lkm，船在AB段，BC段靜水中的速度分別為v₁km/h，v₂km/h，所用時間分別為t₁h，t₂h，比例系數(shù)為k，耗油量分別為S₁，S₂，總耗油量為S，其中k，l為常數(shù)，v₁＞3，v₂≥0
（1）t1=

l

v1-3

，t2=

l

v2+3

，
∴S1=k

v

2 1

t1=kl

v 2 1

v1-3

，S2=k

v

2 2

t2=kl

v 2 2

v2+3

∴v₂=0，（S₂）_min=0
S1=k

v

2 1

t1=kl

v 2 1

v1-3

=kl[(v1-3)+

9

v1-3

+6]≥kl(2

9

+6)=12kl
當且僅當v1-3=

9

v1-3

，v₁=6時，（S₁）_min=12kl，此時S最小
（2）如果在整個航行過程中，船在靜水中的速度保持不變，設v₁=v₂=v＞3
S(v)=S1+S2=kv2(t1+t2)=2kl

v2

v2-9

S′(v)=2kl

v2(v+3 3 )(v-3 3 )

(v2-9)2

∴3＜v＜3

3

，S′(v)＜0；v＞3

3

，S′(v)＞0
∴v=3

3

時，S（v）取得最小值．

點評：本題以實際問題為載體，考查函數(shù)模型的構建，考查函數(shù)最值的求解，考查導數(shù)知識的運用，有一定的綜合性．