Question

已知橢圓E：的上頂點為M（0，1），兩條過M點動弦MA、MB滿足MA⊥MB．
（1）當坐標原點到橢圓E的準線距離最短時，求此時橢圓E的方程；
（2）若直角三角形MAB的面積的最大值為，求a的值；
（3）對于給定的實數a（a＞1），動直線是否經過一個定點？如果經過，求出該定點的坐標（用a表示）否則，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出坐標原點到橢圓E的準線距離最短時c=1，利用a²=b²+c²，即可求得橢圓E的方程；
（2）設直線MA的方程為y=kx+1，直線MB的方程為，分別代入橢圓E的方程，求得A、B的坐標，從而可求直角三角形MAB的面積，利用最大值為，可求a的值；
（3）由（2）知直線l的斜率，從而可求直線l的方程，由此可得直線l過定點．
解答：解：（1）坐標原點到橢圓E的準線距離為，當且僅當c=1時，坐標原點到橢圓E的準線距離最短
∵c=1，b=1，∴a²=b²+c²，∴a²=2
∴橢圓E的方程為
（2）由MA⊥MB，可知直線MA與坐標軸不垂直，
故可設直線MA的方程為y=kx+1，直線MB的方程為
將y=kx+1代入橢圓E的方程，整理得  （1+a²k²）x²+2a²kx=0
解得x=0或，故點A的坐標為
同理，點B的坐標為
∴=
=，
解得a=3
（3）由（2）知直線l的斜率為=
直線l的方程為，即
∴直線l過定點
點評：本題考查橢圓方程，考查三角形的面積，考查直線過定點，解題的關鍵是正確求出三角形的面積、直線的方程．