Question

已知橢圓E：的左頂點、上頂點分別為A、B，P為線段AB上一點，F₁、F₂分別為橢圓E的左、右焦點，若的最小值小于零，則橢圓E的離心率的取值范圍為（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：依題意可求得AB的方程，設出P點坐標，代入AB得方程，求得若的最小值，令＜0，結合橢圓的離心率的性質即可求得答案．
解答：解：依題意，作圖如下：
∵A（-a，0），B（0，b），F₁（-c，0），F₂（c，0），
∴直線AB的方程為：+=1，整理得：bx-ay+ab=0，
設直線AB上的點P（x，y）
則bx=ay-ab，
∴x=y-a，
∵•=（-c-x，-y）•（c-x，-y）=+-c²．
=+-c²，
令f（y）=+-c²，
∵f′（y）=2（y-a）×+2y，
∴由f′（y）=0得：y=，于是x=-，
此時f（y）取到最小值，
即=+-c²，
∵＜0，
∴+-c²＜0，
整理得：＜c²，又b²=a²-c²，e²=，
∴e⁴-3e²+1＜0，
∴＜e²＜，又橢圓的離心率e∈（0，1），
∴＜e²＜1，
∵==，
∴＜e＜1．
故選C．
點評：本題考查橢圓的性質，考查向量的數量積，考查直線的方程，著重考查函數的最值的求法，求得是關鍵，更是難點，屬于難題．