Question

給出的下列四個命題中：
①命題“?x∈R，x²+1＞3x”的否定是“?x∈R，x²+1≤3x”；
②“m=-2”是“直線（m+2）x+my+1=0與直線（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的充分不必要條件；
③設圓x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F＞0）與坐標軸有4個交點，分別為A（x₁，0），B（x₂，0），C（0，y₁），D（0，y₂），則x₁x₂-y₁y₂=0；
④關于x的不等式|x+1|+|x-3|≥m的解集為R，則m≤4．
其中所有真命題的序號是

①②③④

．

Answer 1

分析：①根據特稱命題的否定為全稱命題可判斷
②由直線（m+2）x+my+1=0與直線（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直，則（m+2）（m-2）+m（m+2）=0，從而有m=-2或m=1，可判斷
③分別令x=0可得y²+Ey+F=0，y₁y₂=F，令y=0可得x²+Ey+F=0，可得x₁x₂=F，代入可判斷
④由絕對值不等式的性質可求|x+1|+|x-3|的最小值，由不等式|x+1|+|x-3|≥m的解集為R，可得|x+1|+|x-3|的最小值≥m，可求m的范圍

解答：解：①根據特稱命題的否定為全稱命題可得，“?x∈R，x²+1＞3x”的否定是“?x∈R，x²+1≤3x”，故①正確
②若m=-2，則直線-2y+1=0與直線-4x-3=0相互垂直；若直線（m+2）x+my+1=0與直線（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直，則（m+2）（m-2）+m（m+2）=0，從而有m=-2或m=1，故②正確
③在圓x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F＞0）中，令x=0可得y²+Ey+F=0，y₁y₂=F，令y=0可得x²+Dx+F=0，可得x₁x₂=F
則x₁x₂-y₁y₂=0；故③正確
④由于|x+1|+|x-3|≥4，即|x+1|+|x-3|的最小值為4，若關于x的不等式|x+1|+|x-3|≥m的解集為R，則m≤4；故④正確
故答案為：①②③④

點評：本題以命題的真假判斷為載體，主要考查了全稱命題與特稱命題，直線垂直的條件的應用，圓的一般方程及絕對值不等式等知識的綜合應用