Question

已知集合N={1，2，3，4，…，n}，A為非空集合，且A⊆N，定義A的“交替和”如下：將集合A中的元素按由大到小排列，然后從最大的數開始，交替地減、加后續的數，直到最后一個數，并規定單元素集合的交替和為該元素．例如集合{1，2，5，7，8}的交替和為8-7+5-2+1=5，集合{4}的交替和為4，當n=2時，集合N={1，2}的非空子集為{1}，{2}，{1，2}，記三個集合的交替和的總和為S₂=1+2+（2-1）=4，則n=3時，集合N={1，2，3}的所有非空子集的交替和的總和S₃=________；集合N={1，2，3，4，…，n}的所有非空子集的交替和的總和S_n=________．

Answer 1

12    n•2^n-1
分析：根據“交替和”的定義：按照遞減的次序重新排列該子集，然后從最大數開始交替地減、加后繼的數可求出“交替和”的總和S₃，再根據其結果猜測集合N={1，2，3，…，n}的每一個非空子集的“交替和”的總和S_n即可．
解答：法（1）：由題意，S₁=1=1×2⁰，S₂=4=2×2¹，
當n=3時，S₃=1+2+3+（2-1）+（3-1）+（3-2）+（3-2+1）=12=3×2²，
當n=4時，S₄=1+2+3+4+（2-1）+（3-1）+（4-1）+（3-2）+（4-2）+（4-3+2）+（3-2+1）+（4-3+2+1）=32=4×2³，
∴根據前4項猜測集合N={1，2，3，…，n}的每一個非空子集的“交替和”的總和S_n=n•2^n-1
法（2）：同法（1）可得S₃=1+2+3+（2-1）+（3-1）+（3-2）+（3-2+1）=12，
對于集合N={1，2，3，4，…，n}，分析可得其共有2ⁿ個子集，
將其子集分為兩類：第一類包含元素n，第二類不包含元素n，其余的元素相同；
這兩類子集可建立一一對應關系，如{1，n}和{1}，{n}和空集，…
共有2^（n-1）對這樣的子集，
對于每一對這樣的子集，如A和B，
∵n大于B中任意元素，
∴如果子集B的交替和為b，則子集A的交替和為n-b
這樣，A與B的交替和 之和為n，
則S_n=n•2^n-1
故答案為：12，n•2^n-1
點評：本題考查新定義，考查數列的應用，同時考查了歸納推理的能力，屬于中檔題．