Question

已知集合N={1，2，3，4，…，n}，A為非空集合，且A⊆N，定義A的“交替和”如下：將集合A中的元素按由大到小排列，然后從最大的數(shù)開(kāi)始，交替地減、加后續(xù)的數(shù)，直到最后一個(gè)數(shù)，并規(guī)定單元素集合的交替和為該元素．例如集合{1，2，5，7，8}的交替和為8-7+5-2+1=5，集合{4}的交替和為4，當(dāng)n=2時(shí)，集合N={1，2}的非空子集為{1}，{2}，{1，2}，記三個(gè)集合的交替和的總和為S₂=1+2+（2-1）=4，則n=3時(shí)，集合N={1，2，3}的所有非空子集的交替和的總和S₃=

12

；集合N={1，2，3，4，…，n}的所有非空子集的交替和的總和S_n=

n•2^n-1

．

Answer 1

分析：根據(jù)“交替和”的定義：按照遞減的次序重新排列該子集，然后從最大數(shù)開(kāi)始交替地減、加后繼的數(shù)可求出“交替和”的總和S₃，再根據(jù)其結(jié)果猜測(cè)集合N={1，2，3，…，n}的每一個(gè)非空子集的“交替和”的總和S_n即可．

解答：解：法（1）：由題意，S₁=1=1×2⁰，S₂=4=2×2¹，
當(dāng)n=3時(shí)，S₃=1+2+3+（2-1）+（3-1）+（3-2）+（3-2+1）=12=3×2²，
當(dāng)n=4時(shí)，S₄=1+2+3+4+（2-1）+（3-1）+（4-1）+（3-2）+（4-2）+（4-3+2）+（3-2+1）+（4-3+2+1）=32=4×2³，
∴根據(jù)前4項(xiàng)猜測(cè)集合N={1，2，3，…，n}的每一個(gè)非空子集的“交替和”的總和S_n=n•2^n-1
法（2）：同法（1）可得S₃=1+2+3+（2-1）+（3-1）+（3-2）+（3-2+1）=12，
對(duì)于集合N={1，2，3，4，…，n}，分析可得其共有2ⁿ個(gè)子集，
將其子集分為兩類(lèi)：第一類(lèi)包含元素n，第二類(lèi)不包含元素n，其余的元素相同；
這兩類(lèi)子集可建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，如{1，n}和{1}，{n}和空集，…
共有2^（n-1）對(duì)這樣的子集，
對(duì)于每一對(duì)這樣的子集，如A和B，
∵n大于B中任意元素，
∴如果子集B的交替和為b，則子集A的交替和為n-b
這樣，A與B的交替和 之和為n，
則S_n=n•2^n-1
故答案為：12，n•2^n-1

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，考查數(shù)列的應(yīng)用，同時(shí)考查了歸納推理的能力，屬于中檔題．