Question

【題目】已知定義域?yàn)?/span>的函數(shù)在上有最大值1，設(shè) ．

（1）求的值；

（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

【答案】（1）0；（2）；（3）

【解析】

（1）結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì) 可判斷g（x）在[1，2]上的單調(diào)性，結(jié)合已知函數(shù)的最大值可求m；（2）由（1）可知f（x），由原不等式可知2k1在x∈[3，9]上恒成立，結(jié)合對(duì)數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)可求；（3）原方程可化為|ex﹣1|2﹣（3k+2）|ex﹣1|+（2k+1）＝0，利用換元q＝|ex﹣1|，結(jié)合二次函數(shù)的 實(shí)根分布即可求解．

（1）因?yàn)?/span>在上是增函數(shù)，

所以，解得．

（2）由（1）可得：

所以不等式在上恒成立．

等價(jià)于在上恒成立

令，因?yàn)?/span>，所以

則有在恒成立

令，，則

所以，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．

（3）因?yàn)?/span>

令，由題意可知

令，

則函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)

等價(jià)于在有兩個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng) ，此時(shí)方程，此時(shí)關(guān)于方程有三個(gè)零點(diǎn)，符合題意；

當(dāng) 記為，，且，，

所以，解得

綜上實(shí)數(shù)的取值范圍 ．