Question

（09年湖北鄂州5月模擬理）（14分）設函數．

⑴求f (x)的單調區間和極值；

⑵是否存在實數a，使得關于x的不等式f (x)≥a的解集為(0，＋∞)？若存在，求a的取值范圍；若不存在，試說明理由．

Answer 1

解析：⑴                                       3分

故當x∈(0，1)時＞0，x∈(1，＋∞)時＜0

所以在(0，1)單增，在(1，＋∞)單減                                                5分

由此知在(0，＋∞)內的極大值為＝ln2，沒有極小值                  6分

⑵(i)當a≤0時，由于

故關于x的不等式的解集為(0，＋∞)                                          10分

(ii)當a＞0時，由知

其中n為正整數，且有

又n≥2時，且

取整數n_o滿足n_o＞－log₂(e－1)，n_o＞且n_o≥2

即

即當a＞0時，關于x的不等式的解集不是(0，＋∞)                 13分

綜合(i)、(ii)知，存在a使得關于x的不等式的解集為(0，＋∞)且a的取值范圍為(－∞，0]

法二：

注：事實上，注意到定義域為(0，＋∞)，只須求之下限

結合(1)，并計算得

故所求a值存在，其范圍是(－∞，0]