Question

(理)已知點是平面直角坐標系上的一個動點，點到直線的距離等于點到點的距離的2倍．記動點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)斜率為的直線與曲線交于兩個不同點，若直線不過點，設直線的斜率分別為，求的數值；
(3)試問：是否存在一個定圓，與以動點為圓心，以為半徑的圓相內切？若存在，求出這個定圓的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）；（2）0；（3）存在，定圓的方程為：.

解析試題分析：（1）本題是求方程問題，由于沒有告訴我們是什么曲線，因此我們可根據已知條件采取直接法求方程，由已知可得，然后化簡即可；（2）這是直線與圓錐曲線相交問題，解題方法是設直線方程為（注意，知道為什么嗎？），與曲線方程聯立方程組，并消去得到關于的二次方程，如果設，則可得（用表示），而
變形后表示成的式子，再把剛才的表達式代入計算應該就能得到結論；（3）假設存在這個定圓與動圓內切，則圓心距為兩圓半徑之差，從而與兩圓中的某個圓的半徑之和或差為定值（定圓的半徑），由于點是橢圓的右焦點，這時聯想橢圓的定義，若是橢圓的左焦點，則就有是常數，故定圓是以為圓心，4為半徑的圓.
試題解析：(1)由題知，有.
化簡，得曲線的方程：．
(2)∵直線的斜率為，且不過點，
∴可設直線：．
聯立方程組得．
又交點為，
∴．
∴
(3)答：一定存在滿足題意的定圓.
理由：∵動圓與定圓相內切，
∴兩圓的圓心之間距離與其中一個圓的半徑之和或差必為定值.
又恰好是曲線(橢圓)的右焦點，且是曲線上的動點，
記曲線的左焦點為，聯想橢圓軌跡定義，有，
∴若定圓的圓心與點重合，定圓的半徑為4時，則定圓滿足題意.
∴定圓的方程為：.
考點：（1）求曲線方程；（2）直線與橢圓相交與定值問題；（3）兩圓內切與橢圓的定義.