Question

四棱錐P-ABCD底面是平行四邊形，面PAB⊥面ABCD，PA=PB=AB=

1

2

AD，∠BAD=60°，E，F分別為AD，PC的中點．
（1）求證：EF∥面PAB
（2）求證：EF⊥面PBD
（3）求二面角D-PA-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）取PB的中點為M連結AM，MF，利用已知條件證明AMFE是平行四邊形，即可求證EF∥面PAB
（2）利用已知條件通過直線與平面垂直的判定定理證明EF⊥面PBD
（3）通過（2），利用BD⊥平面PAB，作BN⊥PA于N，說明∠BND就是二面角D-PA-B的平面角，然后求二面角D-PA-B的余弦值．

解答：解：（1）證明：取PB的中點為M連結AM，MF，因為F為PC的中點，所以FM

∥

.

1

2

BC，又ABCD是平行四邊形，
E為AD的中點，所以AMFE是平行四邊形，
所以EF∥面PAB．
（2）因為PA=PB=AB=

1

2

AD，M是PB的中點，所以AM⊥PB，∠BAD=60°，所以AB⊥BD，
因為面PAB⊥面ABCD，所以BD⊥平面PAB，所以AM⊥BD，
又PB∩BD=B，所以AM⊥面PBD．EF∥AM，
所以EF⊥面PBD．
（3）由（2）可知BD⊥平面PAB，作BN⊥PA于N，
顯然N是PA的中點，連結ND，
則∠BND就是二面角D-PA-B的平面角，
設PA=PB=AB=

1

2

AD=2，所以AN=1，AD=4，BD=

42-22

=

12

，
BN=

22-12

=

3

，所以ND=

( 12 )2+( 3 )2

=

15

，
所以二面角D-PA-B的余弦值為：

BN

DN

=

3

15

=

5

5

．

點評：本題考查空間幾何體中直線與平面平行的判定定理以及直線與平面垂直的判定定理的應用，直線與平面設出角的求法，空間向量的數量積的應用，考查邏輯推理能力與計算能力．