Question

【題目】已知定義在R上的函數，其中a為常數.

（I）若x=1是函數的一個極值點，求a的值

（II）若函數在區間（－1，0）上是增函數，求a的取值范圍

（III）若函數，在x=0處取得最大值，求正數a的取值范圍

Answer 1

【答案】(Ⅰ)2；(Ⅱ) (Ⅲ) .

【解析】試題分析：（1）求出，由是函數的一個極值點可知，解方程即可求的值；（2）要使函數在區間上是增函數，分三種情況討論，只需使求導函數在區間大于等于零恒成立即可求的取值范圍；（3）要使函數，在處取得最大值，需求函數的極值并將之與函數端點值進行比較大小，得出在函數上的最大值只能為或，再根據條件在處取得最大值，得到即可求得正數的取值范圍.

試題解析：（I）

的一個極值點，

（II）①當a=時， 在區間（－1，0）上是增函數， 符合題意

②當

當a>0時，對任意符合題意

當a<0時，當符合題意

綜上所述，

（III）

令

設方程（*）的兩個根為式得，不妨設.

當時， 為極小值，所以在[0，2]上的最大值只能為或

當時，由于在[0，2]上是單調遞減函數，所以最大值為，所以在[0，2]上的最大值只能為或，

又已知在x=0處取得最大值，所以

即

【方法點晴】本題主要考查利用導數研究函數的單調性、極值與最值，利用單調性求參數的范圍，屬于中檔題. 利用單調性求參數的范圍的常見方法：① 視參數為已知數，依據函數的圖象或單調性定義，確定函數的單調區間，與已知單調區間比較求參數需注意若函數在區間上是單調的，則該函數在此區間的任意子集上也是單調的; ② 利用導數轉化為不等式或恒成立問題求參數范圍，本題（3）是利用方法 ② 求解的．