Question

設向量

a

=（sinx，cosx），

b

=（cosx，cosx），x∈R，函數f（x）=

a

•(

a

-

b

)
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）當x∈[-

π

4

，

π

4

]時，求函數f（x）的值域；
（3）求使不等式f（x）≥1成立的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用兩個向量的數量積公式，三角恒等變換，化簡函數的解析式為

1

2

-

2

2

sin(2x+

π

4

)，求得周期．
（2）根據x的范圍，求得角2x+

π

4

的范圍，即可得到sin（2x+

π

4

）的 范圍，進而求得函數的值域．
（3）不等式可化為sin(2x+

π

4

)≤-

2

2

，由

5π

4

+2kπ≤2x+

π

4

≤

7π

4

+2kπ，k∈Z，可求得x的取值范圍．

解答：解：（1）∵

a

-

b

=（sinx-cosx，0），
∴

a

•(

a

-

b

=（sinx，cosx）•（sinx-cosx，0）
=sin²x-sinxcosx=

1-cos2x

2

-

1

2

sin2x=

1

2

-

2

2

sin(2x+

π

4

)，所以周期 T=

2π

2

=π．
（2）當x∈[-

π

4

，

π

4

]時，-

π

4

≤2x+

π

4

≤

3π

4

，-

2

2

≤-

2

2

sin(2x+

π

4

)≤

1

2

，
所以

1- 2

2

≤

1

2

-

2

2

sin(2x+

π

4

)≤1，即

1- 2

2

≤f（x）≤1．
（3）f（x）≥1，即

1

2

-

2

2

sin(2x+

π

4

)≥1，所以sin(2x+

π

4

)≤-

2

2

，

5π

4

+2kπ≤2x+

π

4

≤

7π

4

+2kπ，k∈Z，所以

π

2

+kπ≤x≤

3π

4

+kπ，k∈Z，
所以x∈{x|

π

2

+kπ≤x≤

3π

4

+kπ，k∈Z}．

點評：本題考查兩個向量的數量積公式，三角恒等變換，正弦函數的周期性、單調性、定義域、值域的求法，化簡函數的解析式
為

1

2

-

2

2

sin(2x+

π

4

)，是解題的突破口．