Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面是邊長為 的菱形，∠BAD=120°，且PA⊥平面ABCD，PA=2 ，M，N分別為PB，PD的中點．

（1）證明：MN∥平面ABCD；
（2）過點A作AQ⊥PC，垂足為點Q，求二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接BD．∵M，N分別為PB，PD的中點，

∴在△PBD中，MN∥BD．

又MN平面ABCD，BD平面ABCD

∴MN∥平面ABCD

（2）方法一：連接AC交BD于O，以O為原點，OC，OD所在直線為x，y軸，建立空間直角坐標系，在菱形ABCD中，∠BAD=120°

，得AC=AB= ，BD=

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC

在直角△PAC中， ，AQ⊥PC得QC=2，PQ=4，由此知各點坐標如下

A（﹣ ，0，0），B（0，﹣3，0），C（ ，0，0），D（0，3，0），P（ ），M（ ），N（ ）

Q（ ）

設 =（x，y，z）為平面AMN的法向量，則 ．

∴ ，取z=﹣1， ，

同理平面QMN的法向量為

∴ =

∴所求二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值為 ．

方法二：在菱形ABCD中，∠BAD=120°，得AC=AB=BC=CD=DA= ，BD=

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥AD，∴PB=PC=PD，∴△PBC≌△PDC

而M，N分別是PB，PD的中點，∴MQ=NQ，且AM= PB= =AN

取MN的中點E，連接AE，EQ，則AE⊥MN，QE⊥MN，所以∠AEQ為二面角A﹣MN﹣Q的平面角

由 ，AM=AN=3，MN=3可得AE=

在直角△PAC中，AQ⊥PC得QC=2，PQ=4，AQ=2

在△PBC中，cos∠BPC= ，∴MQ=

在等腰△MQN中，MQ=NQ= ．MN=3，∴QE=

在△AED中，AE= ，QE= ，AQ=2 ，∴cos∠AEQ=

∴所求二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值為 ．

【解析】（1）連接BD，利用三角形的中位線的性質，證明MN∥BD，再利用線面平行的判定定理，可知MN∥平面ABCD；（2）方法一：連接AC交BD于O，以O為原點，OC，OD所在直線為x，y軸，建立空間直角坐標系，求出平面AMN的法向量 ，利用向量的夾角公式，即可求得二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值；
方法二：證明∠AEQ為二面角A﹣MN﹣Q的平面角，在△AED中，求得AE= ，QE= ，AQ=2 ，再利用余弦定理，即可求得二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能正確解答此題．