Question

【題目】已知各項為正的數列滿足： ， （）.

（1）求；

（2）證明： （）；

（3）記數列的前項和為，求證： .

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見解析；(3)證明見解析.

【解析】分析：（1）根據條件遞推公式： ， ，依次推導。（2）要證明，故應由條件得到，所以將條件兩邊減去2得，將右邊通分，進而化為 由條件，可得。所以與異號。得到結論。（3）由（2）知與異號，要求數列的前項和為，故應找數列的間隔項的關系。由（2）知，利用此關系式將式子中的化成 ，并化簡可得 （）。

要找數列的間隔項的關系，再變為 （）。應判斷式子右邊的范圍。由可得 （）。進而得左邊的范圍 （）。所以與同號。先求數列前兩項的范圍， 。進而可得數列奇數項、偶數項的正負。即當時， ；當時， 。再分奇偶判斷數列奇數、偶數項的范圍及單調性。可得，結合條件可得。由（2）知，故先求右邊的范圍

，進而得。利用累乘法可得。再用等比數列求和公式可得。化簡可得 。

詳解：（1）

（2）

與異號

（3）由（2）知

（）

（）

所以 （）

（）

（）

與同號

又

當時，

當時，

①當且為偶數時

數列遞增且各項都小于2

②當且為奇數時

數列遞減且各項都大于2

由①②知，

由（2）知

又