Question

已知圓M的方程為：x²＋y²－2x－2y－6＝0，以坐標原點為圓心的圓N與圓M相切．
(1)求圓N的方程；
(2)圓N與x軸交于E、F兩點，圓內的動點D使得|DE|、|DO|、|DF|成等比數列，求·的取值范圍；
(3)過點M作兩條直線分別與圓N相交于A、B兩點，且直線MA和直線MB的傾斜角互補，試判斷直線MN和AB是否平行？請說明理由

Answer 1

圓M的方程可整理為：(x－1)²＋(y－1)²＝8，故圓心M(1,1)，半徑R＝2.
(1)圓N的圓心為(0,0)，
因為|MN|＝＜2，所以點N在圓M內，
故圓N只能內切于圓M.
設其半徑為r.
因為圓N內切于圓M，
所以有：|MN|＝R－r，
即＝2－r，解得r＝.
所以圓N的方程為
x²＋y²＝2.
(2)由題意可知：E(－，0)，F(，0)．
設D(x，y)，由|DE|、|DO|、|DF|成等比數列，
得|DO|²＝|DE|×|DF|，
即：×
＝x²＋y²，
整理得：x²－y²＝1.
而＝(－－x，－y)，
＝(－x，－y)，·
＝(－－x)(－x)＋(－y)(－y)＝x²＋y²－2＝2y²－1，由于點D在圓N內，故有，由此得y²＜，所以·∈[－1,0)．
(3)因為直線MA和直線MB的傾斜角互補，故直線MA和直線MB的斜率存在，且互為相反數，設直線MA的斜率為k，則直線MB的斜率為－k.故直線MA的方程為
y－1＝k(x－1)，
直線MB的方程為
y－1＝－k(x－1)，
由，
得(1＋k²)x²＋2k(1－k)x＋(1－k)²－2＝0.
因為點M在圓N上，故其橫坐標x＝1一定是該方程的解，
可得x_A＝，
同理可得：x_B＝，
所以k_AB＝＝
＝
＝1＝k_MN.
所以，直線AB和MN一定平行

解析