Question

已知下列命題：
①若f（x）為減函數，則-f（x）為增函數；
②若f（0）＜f（4），則函數f（x）不是R上的減函數；
③若函數f（x）的定義域為[0，2]，則函數f（2x）的定義域為[0，4]；
④設函數f（x）是在區間[a，b]上圖象連續的函數，且f（a）•f（b）＜0，則方程f（x）=0在區間[a，b]上至少有一實根．
⑤若函數f(x)=

(2-m)x+2m(x＜1) (m-1)|x+1|(x≥1)

在R上是增函數，則m的取值范圍是1＜m＜2；
其中正確命題的序號有

①②④

（把所有正確命題的番號都填上）

Answer 1

分析：①利用復合函數的單調性法則（同增異減）即可判斷①的正誤；
②利用減函數的概念可判斷②的正誤；
③依題意，利用抽象函數的定義域可求得函數f（2x）的定義域，從而可判斷③的正誤；
④利用零點存在定理可判斷④的正誤；
⑤利用增函數的概念可判斷⑤．

解答：解：①∵f（x）為減函數，
由復合函數的單調性知，-f（x）為增函數，故①正確；
②對任意x₁，x₂∈R，當x₁＜x₂時，f（x₁）＞f（x₂），則函數f（x）是R上的減函數，由R上減函數的定義可知，x₁，x₂為R上的“任意”實數，當x₁＜x₂時，f（x₁）＞f（x₂），而不是“存在”實數x₁＜x₂，使得f（x₁）＞f（x₂），故②若f（0）＜f（4），則函數f（x）不是R上的減函數，正確；
對于③，∵函數f（x）的定義域為[0，2]，
∴0≤2x≤2⇒0≤x≤1，
∴函數f（2x）的定義域為[0，1]，故③錯誤；
對于④，由零點存在定理知，函數f（x）是在區間[a，b]上圖象連續的函數，且f（a）•f（b）＜0，則方程f（x）=0在區間[a，b]上至少有一實根，正確；
對于⑤，∵f（x）=

(2-m)x+2m(x＜1) (m-1)|x+1|(x≥1)

=

(2-m)x+2m(x＜1) (m-1)(x+1)(x≥1)

在R上是增函數，
∴

m-1＞0 (1+1)(m-1)≥(2-m)×1+2m 2-m＞0

，解得

m＞1 m≥4 m＜2

，
∴m∈∅，故⑤錯誤．
綜上所述，正確命題的序號有①②④．
故答案為：①②④．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查函數的單調性與定義域，考查零點存在定理，屬于中檔題．