Question

【題目】已知函數f（x）=lnx，g（x）=0.5x2﹣bx，（b為常數）．
（1）函數f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線與函數g（x）的圖象相切，求實數b的值；
（2）若函數h（x）=f（x）+g（x）在定義域上不單調，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為f（x）=lnx，所以 ，因此f′（1）=1，

所以函數f（x）的圖象在點（1，0）處的切線方程為y=x﹣1，

由 得x2﹣2（b+1）x+2=0．

由△=4（b+1）2﹣8=0，得

（2）解：因為h（x）=f（x）+g（x）=lnx+0.5x2﹣bx（x＞0），

所以 ，

若函數在定義域內不單調，則

可知h'（x）＜0在（0，+∞）上有解，

因為x＞0，設u（x）=x2﹣bx+1，因為u（0）=1＞0，

則只要 解得b＞2，

所以b的取值范圍是（2，+∞）

【解析】（1）求出f（x）的導數，可得切線的斜率和切點，可得切線的方程，聯立二次函數，由判別式為0，解方程即可得到b的值；（2）求出h（x）的導數，可得h'（x）＜0在（0，+∞）上有解，由二次函數的性質，可得b的不等式，即可得到b的范圍．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．