Question

（本題滿分12分）如圖，在長方體中，已知上下兩底面為正方形，且邊長均為1；側棱，為中點，為中點，為上一個動點.

（Ⅰ）確定點的位置，使得；
（Ⅱ）當時，求二面角的平
面角余弦值.

Answer 1

(1)根據已知中的線線垂直關系， 來結合線面垂直的判定定理來分析線面垂直，這類試題先是猜想點的位置，然后加以證明。
(2)

試題分析：方法一：
(Ⅰ)如圖，

分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，則
易得 ………………2分
由題意得,設
又
則由得，
∴,得為的四等分點.………………………6分
(Ⅱ)易知平面的一個法向量為，設平面的法向量為
則,得，取，得， ……………10分
∴，∴二面角的平面角余弦值為.12分
方法二：
（Ⅰ）∵在平面內的射影為，且四邊形為正方形，為中點， ∴
同理，在平面內的射影為，則
由△～△， ∴,得為的四等分點. …………………6分
（Ⅱ）∵平面,過點作，垂足為；
連結，則為二面角的平面角；…………………………8分
由，得,解得
∴在中，,
∴；∴二面角的平面角余弦值為. …12分
點評：解決該試題的關鍵是能合理的根據結論 ，逆向求點點M的位置，進而結合向量法或者是幾何性質法求解二面角，屬于中檔題。