Question

已知點P，A，B，C是球O表面上的四個點，且PA，PB，PC兩兩成60°角，PA=PB=PC=4cm，則球的表面積為

 

cm²．

Answer 1

分析：根據條件判斷四面體是正四面體，利用正四面體構造正方體，則正方體的體對角線長就是球的直徑，求出直徑即可求出球的表面積．

解答：解：∵點P，A，B，C是球O表面上的四個點，且PA，PB，PC兩兩成60°，PA=PB=PC=4cm，
∴AB=BC=CA=PA=4cm，
即四面體是正四面體，利用正四面體構造正方體，
則正方體的對角線長就是球的直徑，
∵PA=PB=PC=4cm，
∴正方體的棱長為2

2

cm，
∴正方體的體對角線長為

3

•2

2

=2

6

cm，
設球的半徑為R，
則2R=2

6

，
∴R=

6

，
∴球的表面積為：4πR²=4π×(

6

)2=24π （cm²）
故答案為：24π．

點評：本題主要考查正四面體與球的位置關系，以及球的表面積的求法，利用正四面體構造正方體，利用正方體和外接球的關系是解決本題的關鍵，考查計算能力轉化思想以及空間想象能力．