Question

某籃球職業(yè)聯(lián)賽的總決賽在甲隊(duì)與乙隊(duì)間角逐，采用五局三勝制，即若一隊(duì)先勝三場(chǎng)，則此隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束，因兩隊(duì)實(shí)力相當(dāng)，每場(chǎng)比賽獲勝的可能性相等，據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，第一場(chǎng)比賽組織者可獲門票收入30萬元，以后每場(chǎng)比賽門票收入都比上一場(chǎng)增加10萬元，
問：（1）組織者在此次總決賽中獲得門票收入不少于180萬元的概率是多少？
（2）用ξ表示組織者在此次總決賽中的門票收入，求ξ的數(shù)學(xué)期望？

Answer 1

（1）由題意知每場(chǎng)比賽的門票收入構(gòu)成等差數(shù)列{a_n}，
其中a₁=30，d=10，
∴S_n=5n²+25n
令S_n≥180，即5n²+25n≥180，
解得n≥4或n≤-9（舍）
∴n=4或5
若n=4，則需打四場(chǎng)比賽，某隊(duì)必須第四場(chǎng)勝，且前三場(chǎng)中勝兩場(chǎng)，
若n=5，則需打五場(chǎng)比賽，某隊(duì)必須第五場(chǎng)勝，且前四場(chǎng)中勝兩場(chǎng)，
∴P=2

C

23

(

1

2

)4+2

C

24

(

1

2

)5=

3

4

即組織者在此次總決賽中獲得門票收入不少于180萬元的概率是

3

4

．
（2）由題意知ξ表示組織者在此次總決賽中的門票收入，可能取值是120、180、250，
P（ξ=120）=

1

4

，
P（ξ=180）=

3

8

，
P（ξ=250）=

3

8

，，
∴Eξ=120×

1

4

+180×

3

8

+250×

3

8

=191.25