Question

某籃球職業聯賽的總決賽在甲隊與乙隊間角逐，采用五局三勝制，即若一隊先勝三場，則此隊獲勝，比賽結束，因兩隊實力相當，每場比賽獲勝的可能性相等，據以往資料統計，第一場比賽組織者可獲門票收入30萬元，以后每場比賽門票收入都比上一場增加10萬元，
問：（1）組織者在此次總決賽中獲得門票收入不少于180萬元的概率是多少？
（2）用ξ表示組織者在此次總決賽中的門票收入，求ξ的數學期望？

Answer 1

分析：（1）由題意知每場比賽的門票收入構成等差數列{a_n}，根據所給的條件寫出數列的和，使得數列的和大于或等于180，解出n的值，分類討論，得到組織者在此次總決賽中獲得門票收入不少于180萬元的概率．
（2）由題意知ξ表示組織者在此次總決賽中的門票收入，可能取值是120、180、250，當取值是120時，表示比賽要打三場，采用五局三勝制，即若一隊先勝三場，根據實際意義得到結果．

解答：解：（1）由題意知每場比賽的門票收入構成等差數列{a_n}，
其中a₁=30，d=10，
∴S_n=5n²+25n
令S_n≥180，即5n²+25n≥180，
解得n≥4或n≤-9（舍）
∴n=4或5
若n=4，則需打四場比賽，某隊必須第四場勝，且前三場中勝兩場，
若n=5，則需打五場比賽，某隊必須第五場勝，且前四場中勝兩場，
∴P=2

C

2 3

(

1

2

)4+2

C

2 4

(

1

2

)5=

3

4

即組織者在此次總決賽中獲得門票收入不少于180萬元的概率是

3

4

．
（2）由題意知ξ表示組織者在此次總決賽中的門票收入，可能取值是120、180、250，
P（ξ=120）=

1

4

，
P（ξ=180）=

3

8

，
P（ξ=250）=

3

8

，，
∴Eξ=120×

1

4

+180×

3

8

+250×

3

8

=191.25

點評：解決離散型隨機變量分布列問題時，主要依據概率的有關概念和運算，求離散型隨機變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個問題，一般出現在前三個題目上，應是必得分題．