Question

在面積為9的△ABC中，，且．現建立以A點為坐標原點，以∠BAC的平分線所在直線為x軸的平面直角坐標系，如圖所示．
（1）求AB、AC所在的直線方程；
（2）求以AB、AC所在的直線為漸近線且過點D的雙曲線的方程；
（3）過D分別作AB、AC所在直線的垂線DF、DE（E、F為垂足），求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設直線AC的傾斜角為α，則可得直線AB的傾斜角為π-α，由題意可得，，從而可直線AC與AB的斜率，進而可求直線方程
（2）由（1）可設雙曲線的方程可以設為4x²-y²=λ（λ≠0）．由 可得得D代入雙曲線方程可得點D，結合△ABC的面積為9可求λ即可
（3）設出D點坐標，由點到直線的距離公式求出|DE|，|DF|，再求出DE和DF所成角的余弦值，注意到此角與角的聯系，由向量數量積的定義求解即可．
解答：解：（1）設直線AC的傾斜角為α，則可得直線AB的傾斜角為π-α
由題意可得，

K_AC=2K_AB=-2
直線AC與AB的方程分別為y=2x，y=-2x
（2）由（1）可設雙曲線的方程可以設為4x²-y²=λ（λ≠0）．
設B（x₁，-2x₁），C（x₂，-2x₂），由
得 D  
所以 即
由 tan2α=，得 sin2α=又∵|AB|=|x₁|，|AC|=
∴S△ABC=|AB|•|AC|sinA=×5x₁x₂•sin2α=9，
即 ，代入等式（*），得λ=16．
所以，雙曲線的方程為
（2）由題設可知，所以 cos?．
設點D（x，y），
則 ，
于是，點D到AB，AC所在的直線的距離是DE=，DF=
=|DE|•|DF|=• =
點評：本題考查求雙曲線的方程、雙曲線的漸近線等知識，以及平面向量、三角等，綜合性較強，考查利用所學知識綜合處理問題的能力．