Question

在面積為9的△ABC中，，且．
（1）建立適當的坐標系，求以AB，AC所在直線為漸近線且過點D的雙曲線的方程；
（2）過點D分別作AB，AC所在直線的垂線DE，DF（E，F為垂足），求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為以AB，AC所在直線為漸近線，故坐標系必以點A為坐標原點，∠CAB的角平分線所在的直線為一坐標軸．
建系后由和二倍角公式可寫出直線AB，AC的方程，即已知雙曲線的漸近線，可將方程設為4x²-y²=λ（λ≠0）的形式，再利用雙曲線過點D求出λ即可．
（2）設出D點坐標，由點到直線的距離公式求出|DE|，|DF|，再求出DE和DF所成角的余弦值，注意到此角與角A的聯系，由向量數量積的定義求解即可．
解答：（1）以點A為坐標原點，∠CAB的角平分線所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系（如圖），設∠CAx=α．
∵，
∴tanα=2
所以，直線AC的方程為y=2x，直線AB的方程為y=-2x，
雙曲線的方程可以設為4x²-y²=λ（λ≠0）．
設B（x₁，-2x₁），C（x₂，2x₂），由，
得，
所以．
即（*）
由，得又∵，
∴S_△ABC=，
即，代入等式（*），得λ=16．
所以，雙曲線的方程為．
（2）由題設可知，所以．
設點D（x，y），
則，
于是，點D到AB，AC所在的直線的距離是．
故
點評：本題考查求雙曲線的方程、雙曲線的漸近線等知識，以及平面向量、三角等，綜合性較強，考查利用所學知識綜合處理問題的能力．