Question

【題目】已知圓C：x2＋y2＝9，點A(－5，0)，直線l：x－2y＝0.

(1)求與圓C相切，且與直線l垂直的直線方程；

(2)在直線OA上(O為坐標原點)，存在定點B(不同于點A)，滿足：對于圓C上任一點P，都有為一常數，試求所有滿足條件的點B的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝－2x±3（2）

【解析】(1)設所求直線方程為y＝－2x＋b，即2x＋y－b＝0，

∵直線與圓相切，∴＝3，得b＝±3，∴所求直線方程為y＝－2x±3.

(2)(解法1)假設存在這樣的點B(t，0)，

當P為圓C與x軸左交點(－3，0)時，＝；

當P為圓C與x軸右交點(3，0)時，＝，

依題意，＝，解得，t＝－5(舍去)，或t＝－.

下面證明點B對于圓C上任一點P，都有為一常數．

設P(x，y)，則y2＝9－x2，

∴＝，從而＝為常數．

(解法2)假設存在這樣的點B(t，0)，使得為常數λ，則PB2＝λ2PA2，∴(x－t)2＋y2＝λ2[(x＋5)2＋y2]，將y2＝9－x2代入得，x2－2xt＋t2＋9－x2＝λ2(x2＋10x＋25＋9－x2)，即

2(5λ2＋t)x＋34λ2－t2－9＝0對x∈[－3，3]恒成立，

∴解得(舍去)，

所以存在點B對于圓C上任一點P，都有為常數