Question

選考題
請從下列三道題當中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，請在答題卷上注明題號．
22-1設函數f（x）=|2x-1|+|2x-3|
（1）解不等式f（x）≤5x+1；
（2）若g(x)=

1

f(x)+m

定義域為R，求實數m的取值范圍．
22-2如圖，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分線，△ACD的外接圓交BC于E，AB=2AC，
（1）求證：BE=2AD；
（2）當AC=1，BC=2時，求AD的長．
22-3已知P為半圓C：

x=cosθ y=sinθ

(θ為參數，0≤θ≤π)上的點，點A的坐標為（1，0），O為坐標原點，點M在射線OP上，線段OM與半圓C上的弧AP的長度均為

π

3

（1）求以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求點M的極坐標；
（2）求直線AM的參數方程．

Answer 1

分析：22-1（1）原不等式等價于

x＜ 1 2 9x≥3

或

1 2 ≤x≤ 3 2 1≤5x

或

x＞ 3 2 x≥-5

解之即可；
（2）依題意，f（x）+m=0在R上無解，可求得f（x）_min，令-m=f（x）＜f（x）_min即可．
22-2：（1）連接DE，由△BDE∽△BCA可證得結論；
（2）設AD=t，根據割線定理得 BD•BA=BE•BC，整理得（2-t）•2=2t•2，從而解得答案； 
23-3：（1）由已知，點M的極角為

π

3

，極徑等于

π

3

，從而可求得點M的極坐標；
（2）由點M的直角坐標為（

π

6

，

3 π

6

），A（1，0，即可求得直線AM的參數方程．

解答：22-1 解：（1）原不等式等價于：于

x＜ 1 2 9x≥3

或

1 2 ≤x≤ 3 2 1≤5x

或

x＞ 3 2 x≥-5

，
因此不等式的解集為{x|x≥

1

3

}．
（2）由于g（x）=

1

f(x)+m

的定義域為R
∴f（x）+m=0在R上無解
又f（x）=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-2x+3|=2即f（x）_min=2
∴-m＜2，即m＞-2
22-2證明：（1）連接DE，
∵ACDE為圓的內接四邊形．
∴∠BDE=∠BCA，
又∠DBE=∠CBA，
∴△BDE∽△BCA 即

BE

BA

=

DE

CA

，
而 AB=2AC，
∴BE=2DE．
又CD是∠ACB的平分線，
∴AD=DE 從而BE=2AD．
（2）由條件得 AB=2AC=2
設AD=t，根據割線定理得 BD•BA=BE•BC，即（AB-AD）•BA=2AD•2
∴（2-t）•2=2t•2，解得t=

2

3

，即AD=

2

3

．
22-3解：（1）由已知，點M的極角為

π

3

，極徑等于

π

3

，所以M（

π

3

，

π

3

）．
（2）點M的直角坐標為（

π

6

，

3 π

6

），A（1，0），故直線AM的參數方程為

x=1+( π 6 -1)t y= 3 π 6 t

(t為參數)．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，考查與圓有關的比例線段，考查點的極坐標和直角坐標的互化，綜合性強，難度大，屬于難題．