Question

已知數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項是首項為1的等差數(shù)列，偶數(shù)項是首項為2的等比數(shù)列．?dāng)?shù)列{a_n} 前n項和為S_n，且滿足S₃=a₄，a₃+a₅=2+a₄
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{a_n}前2k項和S_2k；
（3）在數(shù)列{a_n}中，是否存在連續(xù)的三項a_m，a_m+1，a_m+2，按原來的順序成等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的正整數(shù)m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）利用等差數(shù)列的通項公式即可得出；
（3）在數(shù)列{a_n}中，僅存在連續(xù)的三項a₁，a₂，a₃，按原來的順序成等差數(shù)列，此時正整數(shù)m的值為1．分類討論a_m=a_2k，a_m=a_2k-1，證明不成立即可．

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，
則a₁=1，a₂=2，a₃=1+d，a₄=2q，a₅=1+2d．
∵S₃=a₄，∴1+2（1+d）=2q，即4+d=2q，
又a₃+a₅=2+a₄，∴1+d+1+2d=2+2q，即3d=2q，解得d=2，q=3．
∴對于k∈N^*，有a_2k-1=1+（k-1）•2=2k-1，
故an=

n，n=2k-1 2•3 n 2 -1，n=2k

，k∈N^*．
（2）S_2k=（a₁+a₃+…+a_2k-1）+（a₂+a₄+…+a_2k）=[1+3+…+（2k-1）]+2（1+3+3²+…+3^k-1）=

(1+2k-1)k

2

+

2(1-3k)

1-3

=k2-1+3k．
（3）在數(shù)列{a_n}中，僅存在連續(xù)的三項a₁，a₂，a₃，按原來的順序成等差數(shù)列，此時正整數(shù)m的值為1，下面說明理由
若a_m=a_2k，則由a_m+a_m+2=2a_m+1，得2×3^k-1+2×3^k=2（2k+1）．
化簡得4•3^k-1=2k+1，此式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，不可能成立．
若a_m=a_2k-1，則由a_m+a_m+2=2a_m+1，得（2k-1）+（2k+1）=2×2×3^k-1
化簡得k=3^k-1，
令Tk=

k

3k-1

（k∈N^*），則Tk+1-Tk=

k+1

3k

-

k

3k-1

=

1-2k

3k

＜0．
因此，1=T₁＞T₂＞T₃＞…，故只有T₁=1，此時K=1，m=2×1-1=1．
綜上，在數(shù)列{a_n}中，僅存在連續(xù)的三項a₁，a₂，a₃，按原來的順序成等差數(shù)列，此時正整數(shù)m的值為1．

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式性質(zhì)及其前n項和公式等基礎(chǔ)知識與基本方法，屬于難題．