Question

已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經過A（-2，0）、B（2，0）、C(1，

3

2

)三點．
（1）求橢圓E的方程：
（2）若點D為橢圓E上不同于A、B的任意一點，F（-1，0），H（1，0），當△DFH內切圓的面積最大時．求內切圓圓心的坐標．

Answer 1

分析：（1）設橢圓方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0），將A（-2，0）、B（2，0）、C(1，

3

2

)代入橢圓E的方程，得到關于m，n的方程組，即可解得m=

1

4

，n=

1

3

．最后寫出橢圓E的方程

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）先設△DFH邊上的高為h，由于S△DFH=

1

2

×2×h=h，得到當點D在橢圓的上頂點時，h最大為

3

，再設△DFH的內切圓的半徑為R，因為△DFH的周長為定值6．所以

1

2

R×6=S△DFH，從而救是R的最大值，從而解決問題．

解答：解：（1）設橢圓方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0），
將A（-2，0）、B（2，0）、C(1，

3

2

)代入橢圓E的方程，得

4m=1 m+ 9 4 n=1

解得m=

1

4

，n=

1

3

．
∴橢圓E的方程

x2

4

+

y2

3

=1
（2）|FH|=2，設△DFH邊上的高為h，S△DFH=

1

2

×2×h=h
當點D在橢圓的上頂點時，h最大為

3

，所以S_△DFH的最大值為

3

．
設△DFH的內切圓的半徑為R，因為△DFH的周長為定值6．所以

1

2

R×6=S△DFH，
所以R的最大值為

3

3

．所以內切圓 圓心的坐標為(0，±

3

3

)

點評：本題主要考查橢圓的標準方程、橢圓的簡單性質．解答的關鍵是將點的坐標代入方程，利用待定系數法求解．