Question

已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經過A(-2，0)，B(2，0)，C(1，

3

2

)三點
（1）求橢圓方程
（2）若此橢圓的左、右焦點F₁、F₂，過F₁作直線L交橢圓于M、N兩點，使之構成△MNF₂證明：△MNF₂的周長為定值．

Answer 1

分析：（1）設橢圓方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0），將A（-2，0）、B（2，0）、C(1，

3

2

)代入橢圓E的方程，得到關于m，n的方程組，即可解得 m=

1

4

，n=

1

3

．最后寫出橢圓E的方程

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）利用橢圓的定義可知|F₁M|+|F₂M|和|F₁N|+|F₂N|的值，進而把四段距離相加即可求得答案．

解答：解：（1）設橢圓方程為mx²+my²=1（m＞0，n＞0），
將A（-2，0）、B（2，0）、C(1，

3

2

)代入橢圓E的方程，得

4m=1 m+ 9 4 n=1

解得 m=

1

4

，n=

1

3

．
∴橢圓E的方程

x2

4

+

y2

3

=1
（2）利用橢圓的定義可知，|F₁M|+|F₂M|=2a=4，|F₁N|+|F₂N|=2a=4
∴△MNF₂的周長為|F₁M|+|F₂M|+F₁N|+|F₂N|=2a+2a=4+4=8
∴△MNF₂的周長是定值為4a=8．

點評：本題主要考查橢圓的標準方程、橢圓的簡單性質，（1）問解答的關鍵是將點的坐標代入方程，利用待定系數法求解，（2）問解題的關鍵是利用橢圓的第一定義．．