Question

【題目】已知函數f（x）=ex（sinx﹣ax2+2a﹣e），其中a∈R，e=2.71818…為自然數的底數．
（1）當a=0時，討論函數f（x）的單調性；
（2）當 ≤a≤1時，求證：對任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=0時，f（x）=ex（sinx﹣e），

則f′（x）=ex（sinx﹣e）+excosx=ex（sinx﹣e+cosx），

∵sinx+cosx= sin（x+ ）≤ ＜e，

∴sinx+cosx﹣e＜0

故f′（x）＜0

則f（x）在R上單調遞減

（2）解：當x≥0時，y=ex≥1，

要證明對任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．

則只需要證明對任意的x∈[0，+∞），sinx﹣ax2+2a﹣e＜0．

設g（a）=sinx﹣ax2+2a﹣e=（﹣x2+2）a+sinx﹣e，

看作以a為變量的一次函數，

要使sinx﹣ax2+2a﹣e＜0，

則 ，即 ，

∵sinx+1﹣e＜0恒成立，∴①恒成立，

對于②，令h（x）=sinx﹣x2+2﹣e，

則h′（x）=cosx﹣2x，

設x=t時，h′（x）=0，即cost﹣2t=0．

∴t= ，sint＜sin ，

∴h（x）在（0，t）上，h′（x）＞0，h（x）單調遞增，在（t，+∞）上，h′（x）＜0，h（x）單調遞減，

則當x=t時，函數h（x）取得最大值h（t）=sint﹣t2+2﹣e=sint﹣（ ）2+2﹣e

=sint﹣ +2﹣e= sin2t+sint+ ﹣e=（ +1）2+ ﹣e≤（ ）2+ ﹣e= ﹣e＜0，

故④式成立，

綜上對任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0

【解析】（1）求函數的導數，利用函數單調性和導數之間的關系進行討論即可．（2）對任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0轉化為證明對任意的x∈[0，+∞），sinx﹣ax2+2a﹣e＜0，即可，構造函數，求函數的導數，利用導數進行研究即可．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．