Question

已知

3sinα-2cosα

4sinα-3cosα

=

4

5

，求
（1）sinα-cosα
（2）

2

3

sin2α+

1

4

cos2α．

Answer 1

分析：（1）由

3sinα-2cosα

4sinα-3cosα

=

4

5

，可得

3tanα-2

4tanα-3

=

4

5

，解得tanα=2，分α 是第一象限角和α 是第二象限角兩種情況分別求出sinα和cosα的值，進而求得sinα-cosα 的值．
（2）由

2

3

sin2α+

1

4

cos2α=

2 3 sin2α+ 1 4 cos2α

cos2α +sin2α

=

2 3 tan2α+ 1 4

1 +tan2α

，把tanα=2代入運算求得結果．

解答：解：（1）∵

3sinα-2cosα

4sinα-3cosα

=

4

5

，∴

3tanα-2

4tanα-3

=

4

5

，∴tanα=2．
當α 是第一象限角時，sinα=

2 5

5

，cosα=

5

5

，sinα-cosα=

5

5

．
當α 是第三象限角時，sinα=-

2 5

5

，cosα=-

5

5

，sinα-cosα=-

5

5

．
（2）

2

3

sin2α+

1

4

cos2α=

2 3 sin2α+ 1 4 cos2α

cos2α +sin2α

=

2 3 tan2α+ 1 4

1 +tan2α

=

7

12

．

點評：本題考查同角三角函數的基本關系，體現了分類討論的數學思想，求得tanα=2，是解題的關鍵．