Question

【題目】設函數f（x）=aexlnx+ ，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處得切線方程為y=e（x﹣1）+2．
（Ⅰ）求a、b；
（Ⅱ）證明：f（x）＞1．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域為（0，+∞），

f′（x）= + ，

由題意可得f（1）=2，f′（1）=e，

故a=1，b=2；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=exlnx+ ，

∵f（x）＞1，∴exlnx+ ＞1，∴lnx＞ ﹣ ，

∴f（x）＞1等價于xlnx＞xe﹣x﹣ ，設函數g（x）=xlnx，則g′（x）=1+lnx，

∴當x∈（0， ）時，g′（x）＜0；當x∈（ ，+∞）時，g′（x）＞0．

故g（x）在（0， ）上單調遞減，在（ ，+∞）上單調遞增，從而g（x）在（0，+∞）上的最小值為g（ ）=﹣ ．

設函數h（x）=xe﹣x﹣ ，則h′（x）=e﹣x（1﹣x）．

∴當x∈（0，1）時，h′（x）＞0；當x∈（1，+∞）時，h′（x）＜0，

故h（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，

從而h（x）在（0，+∞）上的最大值為h（1）=﹣ ．

綜上，當x＞0時，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．

【解析】（Ⅰ）求出定義域，導數f′（x），根據題意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等價于xlnx＞xe﹣x﹣ ，設函數g（x）=xlnx，函數h（x）= ，只需證明g（x）min＞h（x）max，利用導數可分別求得g（x）min，h（x）max；