Question

已知數列{a_n}的通項公式a_n=log_n+1（n+2）（n∈N₊），記J_n=a₁•a₂•a₃•…•a_n為數列{a_n}的前n項積．定義能使J_n為整數的正整數n為劣數，則在區間（1，2014）內所有的劣數和為（　　）

• A、2026
• B、2046
• C、1024
• D、1022

Answer 1

考點：數列的應用

專題：計算題,等差數列與等比數列

分析：用換底公式與疊乘法把a₁•a₂•a₃…a_k化為log₂（k+2），再根據a₁•a₂•a₃…a_k為整數，得k=2ⁿ-2，由區間[1，2014]確定n的取值，求出在區間（1，2014）內所有的劣數和．

解答： 解：∵a_n=log_n+1（n+2），（n∈N^*），
∴a₁•a₂•a₃…a_k=

lg3

lg2

•

lg4

lg3

•…•

lg(k+2)

lgk+1

=log₂（k+2），
又∵a₁•a₂•a₃…a_k為整數，
∴k+2必須是2的n次冪（n∈N^*），即k=2ⁿ-2；
又k∈[1，2014]，∴1≤2ⁿ-2≤2014，∴取2≤n≤10；
∴在區間（1，2014）內所有的劣數和：
M=（2²-2）+（2³-2）+（2⁴-2）+…+（2¹⁰-2）=

22-211

1-2

-2×9=2026．
故選：A．

點評：本題考查了新定義下的數列求和、換底公式以及疊乘法等知識，是易錯題目．