Question

已知函數f（x）=x²+bx+c（b≥2，c∈R），若f（x）的定義域為[-1，0]，值域也為[-1，0]．若數列{b_n}滿足bn=

f(n)

n3

(n∈N*)，記數列{b_n}的前n項和為T_n，問是否存在正常數A，使得對于任意正整數n都有T_n＜A？并證明你的結論．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：由已知條件推導出f（x）=x²+2x，bn=

f(n)

n3

=

n2+2n

n3

＞

1

n

，從面得到當n＞2^k時，Tn＞

k

2

+1，由此能求出不存在常數A使T_n＜A對所有n≥2的正整數恒成立．

解答： 解：∵函數f（x）=x²+bx+c（b≥2，c∈R），
f（x）的定義域為[-1，0]，值域也為[-1，0]．
∴

f(0)=c=0 f(-1)=1-b+c=-1

，解得c=0，b=2，
∴f（x）=x²+2x，…（4分）
∵bn=

f(n)

n3

=

n2+2n

n3

＞

1

n

，
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn＞1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，
∵

1

3

+

1

4

＞2×

1

4

=

1

2

，

1

5

+

1

6

+

1

7

+

1

8

＞4×

1

8

=

1

2

，…（8分）

1

2k-1+1

+

1

2k-1+2

+…+

1

2k

＞2k-1×

1

2k

=

1

2

，
故當n＞2^k時，Tn＞

k

2

+1，
因此，對任何常數A，設m是不小于A的最小正整數，
則當n＞2^2m-2時，必有Tn＞

2m-2

2

+1=m＞A．
故不存在常數A使T_n＜A對所有n≥2的正整數恒成立．…（14分）

點評：本題考查滿足不等式的正常數是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意不等式性質的合理運用．