Question

已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與直角坐標系的x軸的正半軸重合．直線l的參數方程是

x=-1+ 3 5 t y=-1+ 4 5 t

（t為參數），曲線C的極坐標方程為ρ=

2

sin（θ+

π

4

）．
（1）求曲線C的直角坐標方程；
（2）設直線l與曲線C相交于M、N兩點，求M、N兩點間的距離．

Answer 1

分析：（1）利用直角坐標與極坐標間的關系，將曲線C的極坐標方程：ρ=2

2

sin（θ+

π

4

）化成直角坐標方程：x²+y²-x-y=0，問題得以解決；
（2）先將直線l的參數方程化成普通方程：4x-3y+1=0，由（1）得曲線C是以（

1

2

，

1

2

）為圓心，半徑等于

2

2

的圓，結合點到直線的距離公式及圓的幾何性質，可求得M、N兩點間的距離．

解答：解：（1）將曲線C的極坐標方程化為ρ=

2

sin（θ+

π

4

）=cosθ+sinθ
兩邊都乘以ρ，得ρ²=ρcosθ+ρsinθ
因為x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y ²
代入上式，得方求曲線C的直角坐標方程為：x²+y²-x-y=0
（2）直線l的參數方程是

x=-1+ 3 5 t y=-1+ 4 5 t

（t為參數），消去參數t得普通方程：4x-3y+1=0，將圓C的極坐標方程化為普通方程為：x²+y²-x-y=0，
所以（

1

2

，

1

2

）為圓心，半徑等于

2

2

所以，圓心C到直線l的距離d=

|4× 1 2 -3× 1 2 +1|

5

=

3

10

所以直線l被圓C截得的弦長為：|MN|=2

( 1 2 2 )2- 9 100

=

41

5

．
即M、N兩點間的距離為

41

5

．

點評：本小題主要考查圓和直線的極坐標方程與直角坐標方程的互化，以及利用圓的幾何性質計算圓心到直線的距等基本方法，屬于基礎題．