Question

已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與直角坐標系的x軸的正半軸重合．設點O為坐標原點，直線l：

x=t y=2+2t

（參數t∈R）與曲線C的極坐標方程為 ρcos²θ=2sinθ
（Ⅰ）求直線l與曲線C的普通方程；
（Ⅱ）設直線l與曲線C相交于A，B兩點，證明：

OA

•

OB

=0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由直線l的參數方程用代入法消去t得普通方程，曲線C的極坐標方程兩邊同乘ρ得曲線C的普通方程．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=2x+2 x2=2y

  消去y得  x²-4x-4=0，求出x₁•x₂和y₁y₂的值，代入 

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂進行運算．

解答：解：（Ⅰ）由直線l的參數方程消去t得普通方程為 y=2x+2．
由曲線C的極坐標方程兩邊同乘ρ得曲線C的普通方程為  x²=2y．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=2x+2 x2=2y

  消去y得  x²-4x-4=0，
∴x₁+x₂=4，x₁•x₂=-4，∴y₁y₂=

x 2 1

2

•

x 2 2

2

=4，∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=0．

點評：本題考查把參數方程化為普通方程的方法，把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，兩個向量的數量積公式，一元二次方程根與系數的關系，求得x₁•x₂ 和y₁y₂ 的值，是解題的難點．