Question

已知A、B分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的左右兩個焦點，O為坐標原點，點P（-1，

2

2

）在橢圓上，線段PB與y軸的交點M為線段PB的中點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）點C是橢圓上異于長軸端點的任意一點，對于△ABC，求

sinA+sinB

sinC

的值．

Answer 1

分析：（1）由OM是△PAB的中位線得到PA⊥AB，由

c =1 1 a2 + 1 2b2 =1 a2=b2+c2

 解得a²和b²的值，從而得到橢圓的標準方程，
（2）由橢圓的定義AC+BC=2a，△ABC中，由正弦定理求得

sinA+sinB

sinC

的值．

解答：解：（1）∵點M是線段PB的中點，∴OM是△PAB的中位線，
又OM⊥AB，∴PA⊥AB．
∴

c =1 1 a2 + 1 2b2 =1 a2=b2+c2

，解得a²=2，b²=1，c²=1，
∴橢圓的標準方程為 

x2

2

+y²=1．
（2）∵點C在橢圓上，A、B是橢圓的兩個焦點，
∴AC+BC=2a=2

2

，AB=2c=2，
在△ABC中，由正弦定理，

BC

sinA

=

AC

sinB

=

AB

sinC

，
∴

sinA+sinB

sinC

=

BC+AC

AB

=

2 2

2

=

2

．

點評：本題考查橢圓的簡單性質和橢圓的標準方程的應用，正弦定理的應用，屬于中檔題．