Question

已知無窮數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，數(shù)列是各項和等于的無窮等比數(shù)列，其中常數(shù)b是正整數(shù)．
（1）求無窮等比數(shù)列的公比和數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）在無窮等比數(shù)列{b_n}中，b₁=a₁，b₂=a₂，試找出一個b的具體值，使得數(shù)列{b_n}的任意項都在數(shù)列{a_n}中；試找出一個b的具體值，使得數(shù)列{b_n}的項不都在數(shù)列{a_n}中，簡要說明理由；
（3）對于問題（2）繼續(xù)進行研究，探究當且僅當b取怎樣的值時，數(shù)列{b_n}的任意項都在數(shù)列{a_n}中，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用無窮等比數(shù)列的求和公式，可得方程，從而求出公比，進而可求數(shù)列的通項；
（2）先求出數(shù)列{b_n}的通項公式，再賦值驗證；
（3）當b取奇數(shù)時，b₃∉{a_n}；當b取偶數(shù)時，數(shù)列{b_n}的任意項都在數(shù)列{a_n}中，再作證明．
解答：解：（1）由即得，--------------（2分）∴∴a_n=2+（n-1）b，n∈N^*-----------------------------------------------（5分）
（2）∵a₁=2，∴a₂=2+b，又b₁=a₁，b₂=a₂∴，n∈N^*-------------------（6分）
取b=2，則a_n=2n，n∈N^*，b_n=2ⁿ，n∈N^*∴數(shù)列{b_n}的任意項都在數(shù)列{a_n}中．------------------------（8分）
取b=1，則a_n=n+1，n∈N^*，，n∈N^*∴，∴數(shù)列{b_n}的項不都在數(shù)列{a_n}中．---------（10分）
（3）當b取奇數(shù)時，b₃∉{a_n}；當b取偶數(shù)時，數(shù)列{b_n}的任意項都在數(shù)列{a_n}中．
證明：b_n=2×（k+1）^n-1=2（C_n-1k^n-1+C_n-1¹k^n-2+…+C_n-1^n-2k+C_n-1^n-1）=2+2k[（C_n-1k^n-2+C_n-1¹k^n-3+…+C_n-1^n-2+1）-1]
是數(shù)列{a_n}中的第C_n-1k^n-2+C_n-1¹k^n-3+…+C_n-1^n-2+1項----------------（18分）
點評：本題主要考查無窮等比數(shù)列的求和公式，考查數(shù)列的通項公式，考查學生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，有一定的技巧性．