Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），當(dāng)x=1時(shí)有極大值4，當(dāng)x=3時(shí)有極小值0，且函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn)，則f（x）的表達(dá)式為

1. A.
   x³+6x²+9x
2. B.
   x³-6x²-9x
3. C.
   x³-6x²+9x
4. D.
   x³+6x²-9x

Answer 1

C
分析：本題是據(jù)題意求參數(shù)的題，題目中x=1時(shí)有極大值4，當(dāng)x=3時(shí)有極小值0，且函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化出五個(gè)等式，擇其四建立方程．
解答：f′（x）=3ax²+2bx+c（a≠0），
∵x=1時(shí)有極大值4，當(dāng)x=3時(shí)有極小值0
∴f′（1）=3a+2b+c=0 ①
f′（3）=27a+6b+c=0 ②
f（1）=a+b+c+d=4 ③
又函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn)，所以 d=0 ④
①②③④聯(lián)立得 a=1，b=-6，c=9
故函數(shù)f（x）=x³-6x²+9x
故選 C．
點(diǎn)評(píng)：本小題考點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系，本題的特點(diǎn)是用導(dǎo)數(shù)一極值的關(guān)建立方程求參數(shù)---求函數(shù)的表達(dá)式．